Presentamos un estudio de perturbaciones que permanecen localizadas en la evolución de hipergrafos. En particular, mostramos que la inversión de hiperborde en hipergrafos pre-evolucionados conduce a tres tipos de comportamiento observado: perturbaciones que crecen rápidamente, contenidas y que no se extienden. Además, identificamos clases de reglas de reescritura de hipergrafos que conducen a tales comportamientos. Resulta que los hipergrafos de crecimiento rápido con firma 2: -> 42 también corresponden generalmente a perturbaciones de propagación rápida, mientras que las reglas con firma 23 -> 3, tienden a no verse afectadas por la inversión de hiperborde debido a su parecido con las variedades 2D de evolución lenta incrustadas en el espacio 3D. Las perturbaciones contenidas, o estructuras similares a partículas, se observan muy raramente, y se necesita más investigación para identificar clases de reglas que puedan localizar tales perturbaciones como inversión de hiperbrecha. Nuestros métodos para comparar la evolución de los hipergrafos en casos perturbados y no perturbados incluyen el seguimiento del número y la proporción de hiperborde afectados a lo largo del tiempo, así como la utilización del enfoque espectral de la teoría de grafos y la comparación de las matrices de adyacencia para los dos casos. Podemos identificar tendencias en las brechas y los radios espectrales que dan una idea de la simetría y la evolución de los hipergrafos; sin embargo, es necesario seguir investigando para comprender plenamente la importancia de dichas tendencias.
Introducción
La inversión de hiperborde es una clase de perturbaciones que pueden introducirse en hipergrafos en evolución, y se especula que las reglas de reescritura de hipergrafos con diferentes firmas tienen una respuesta diferente a ellas. En el Proyecto de Física Wolfram, las perturbaciones que permanecen localizadas se han denotado como estructuras "tipo partícula", y las obstrucciones no planas como K₂ y Ks son candidatas para identificar partículas elementales en el Modelo de Física Wolfram. Sin embargo, la inserción de no planitud en hipergrafos por lo demás planares no es el único tipo de perturbación que podría permanecer localizada en el tiempo. En este proyecto, investigamos el efecto de invertir cualquier hiperborde dado en un hipergrafo ya pre-evolucionado, y pretendemos ver si existen condiciones que podrían forzar...
El resto de este texto está estructurado de la siguiente manera. En la sección II, introducimos diferentes clases de comportamiento de la evolución de hipergrafos bajo inversión de hiperborde. En la sección III, analizamos la propagación de la perturbación con más detalle, y utilizamos el enfoque espectral de la teoría de grafos para medir y comparar los valores propios de las matrices de adyacencia de grafos perturbados y no perturbados. En la sección IV, investigamos si una clase diferente de perturbaciones, a saber, el emparejamiento de reglas presenta alguna tendencia identificable en contraposición a la inversión simplista de hipertercios. En la sección V, proponemos un pseudocódigo para una búsqueda sistemática de reglas que puedan localizar perturbaciones en la evolución de hipergrafos. La sección VI está dedicada a todas las celdas de inicialización de las funciones definidas por el usuario utilizadas en este proyecto.
Reversión de hiperedge: tipos generales de comportamientos
En esta sección, nos centramos en el estudio de la inversión de hiperborde como una clase de perturbación en la evolución de hipergrafos. Aunque hay otras perturbaciones que se podrían explorar, como la adición/eliminación de aristas, la mayor parte de este proyecto se centrará en la inversión de hiperborde. Los resultados preliminares de tales perturbaciones se exploran en el capítulo 4.14 del texto de Stephen Wolfram - "A Class of Models with the Potential to Represent Fundamental Physics".
En teoría, se puede invertir cualquier hiperborde dado en un hipergrafo ya pre-evolucionado. Sin embargo, especulamos que la naturaleza de la perturbación elegida, así como la regla de evolución, importan más que el índice de hiperborde cambiado. A la luz de esto, los índices de hiperborde invertidos en los siguientes ejemplos se eligen únicamente para facilitar la representación, y hay que tener en cuenta que los detalles exactos de la evolución del hipergrafo perturbado diferirían ligeramente.
perturbado serían ligeramente diferentes si hubiéramos optado por otras hipercubiertas. No obstante, podemos
No obstante, podemos distinguir entre los comportamientos generales de evolución de los hipergrafos perturbados y los separamos en 3 grupos: perturbación de crecimiento rápido, perturbación de crecimiento rápido y perturbación de crecimiento rápido.
grupos: perturbaciones de crecimiento rápido, perturbaciones contenidas y perturbaciones no dispersas.
Definimos una función ReverseHyperedge que compara la evolución de un hipergrafo no perturbado y un hipergrafo con un hipergrafo invertido. Se puede encontrar una descripción más detallada, así como la definición de la función, en la sección VI. Los gráficos del hipergrama presentados en las secciones siguientes muestran en rojo los hiperborde afectados por la perturbación (en el hipergrama no perturbado), seguidos del número de hiperborde afectados. Las condiciones iniciales son nulas.
2.1 Perturbaciones de crecimiento rápido
La primera clase de evolución de hipergrafos perturbados puede denominarse "de crecimiento rápido". En los dos ejemplos presentados a continuación, el número de hiperórganos afectados crece exponencialmente a lo largo de los pasos de evolución, y la perturbación se propaga rápidamente por toda la estructura. Los ejemplos aquí presentados tienen la firma característica de 22-> 4, pero no excluimos la posibilidad de que existan otros hipergrafos de evolución rápida en los que las perturbaciones también se propaguen de forma "rápida". En menos del 1% de las reglas con esta firma, los hipergrafos empiezan a formar "estructuras globulares después de muy pocos pasos de evolución, y exploramos algunas de estas estructuras en esta sección [6].
En los ejemplos que se presentan a continuación, los hipergrafos han necesitado una evolución previa de sólo cinco pasos tras la introducción de la perturbación para que el efecto se propague a más del 80% de la estructura. Después de este punto, la propagación suele ralentizarse a medida que el número de hipergrafos afectados se aproxima al 100%, lo que puede atribuirse a la ralentización del crecimiento global del hipergrafo.
Ejemplo 2.1.1: {(x, y), (x, z)] → [{x, z], [x, w). (y, w}, {z, w}}
Partimos de un ejemplo de la regla anterior y la pre-evolucionamos a cinco pasos. En este punto, comienza a formarse una estructura globular. Ocho pasos más tarde, la perturbación causada por la inversión de un hiperborde se ha extendido a casi el 100% del hipergrafo.
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